摘要

地理上的一些直线具有直观的地理显示度和特定的地理学意义，受到了人们的关注。本文主要关注中国地图上的城市共线问题。通过将问题转化为矩形包含的坐标数量，利用Matlab进行求解。结果显示，最多共线城市为10个。本研究为后续城市共线问题的探讨提供借鉴。

引言

地理上有很多有趣的直线，有一些具有很强的地理学意义。例如我国著名的胡焕庸线（英文：Hu Line），即黑河-腾冲连线。该线大致地划分了中国人口在区域上的分布，体现了中国人口在东南和西北区域的悬殊差异。此外还有神秘的北纬30度线，秦岭淮河线等等。这些直线具有直观的地理显示度和特定的地理学意义，因此受到了人们的关注。

此外，也有一些直线尽管可能不具备特殊的地理学含义，也依然受到了人们的关注，例如北京市的中轴线南北延伸穿过的地区，东北三省省会城市的三点共线等。不同城市之间连线有时候看起来挺有趣的，也为日常聊天提供了些许谈资。然而，现有的资料缺乏多个城市连线现象的相关地理人文现象的探讨，作为相关探讨的第一步，我们需要量化究竟有哪些城市可以使用一条直线进行连接。因此本文着重关注以下的问题：如果在中国地图上画一条直线，最多能穿过多少个城市呢？

本文首先对问题进行了概化。接着利用现有的数据，使用Matlab进行相关算法的实现，分析了每个城市与其他城市的共线情况分布，提出了中国地图上最多能穿过多少个城市的直线。

方法与数据

问题概化

在地图上，城市被简化成为一个点，这个点往往是城市的中心。如果直接画一条严格意义上的直线，那么很难获取多个城市点在同一条线上。考虑到城市具有一定的面积，因此我们将这条线赋予一定的“宽度”。此外，因为条线必然经过一个城市（至少两个），否则没有意义，因此本文将问题转化为：经过某一个城市，画一条具有一定“宽度”的直线，最多能穿过多少个城市？值得注意的是，本文所有的直线并不指数学意义上的没有端点的直线，而是指数学意义上具有足够长的线段。

算法实现

如图1所示，以任意一个城市为中心，画一个矩形，矩形的宽度为上述直线的宽度，本文为10 km；矩形的长度L设置为20000 km，以足够覆盖中国全境。那么计算过程便转化为，矩形内包含的城市坐标点有多少个。

Figure 1. 经过特定城市的矩形及其包含的城市

本文采用Matlab实现相关算法，主要涉及矩形的生成以及矩形内坐标点的计算。相关代码见本文的Github仓库。

数据获取

如图2所示，通过中国地级市经纬度坐标，采用中国地图常用的Albers投影，获取城市坐标点的投影坐标（笛卡尔坐标），便于后续计算。转换后的城市投影坐标数据见本文的Github仓库。

Figure 2. 中国主要城市分布

结果

城市共线数量分布

本文分析了每个城市与其他城市的共线情况的统计分布和空间分布，如图3a所示，共线城市数量范围为4-10个，大部分共线城市数量为6-7个。如图3b所示，共线城市数量的分布没有明显的空间特征。

Figure 3. 与其他城市共线的（a）城市数量统计分布; （b）城市数量空间分布

共线最多的城市

按照现在的参数设置，结果分析显示，中国地图上画一条直线线，穿过其他城市数量最多的三个城市是运城，漯河，杭州，这3个城市均与其他9个城市共线，且三者本身共线。

Figure 4. 与其他城市共线最多的城市

讨论

城市共线数量分布

不一定位于中原的城市就具有更多的共线城市。以中原城市为中心，虽然直线两端均可能与其他城市共线，看似与其他城市共线的概率较大；然而，靠近边境的城市虽然只有直线一端可能与其他城市共线，但是直线一端的城市数量大于中原城市，也提高了其可能与其他城市共线的概率。

此外，由于共线的城市可能位于矩形中心城市的两侧，因此，当矩形中心城市为共线城市中的其他城市时，可能会得到不同的共线结果（图5）。这也是为什么本文得到的最多共线城市数量是10个，但是却只有运城、漯河、杭州3个城市具有最多的共线城市，而不是10个城市具有最多10个共线城市。

Figure 5. 某种情况下的共线城市可能具有不同的共线城市数量

可能的其他概化方式

本文将城市视为点，考虑到城市具有一定的面积，赋予直线一定的“宽度”，转化为矩形内包含坐标点的问题进行求解。其他可能的概化方式是将城市视为具有一定半径的圆，转化为圆与直线相交、相切、相离的问题进行求解（图6）。

Figure 6. 可能的其他概化方式

结果的不确定性

本文直线的宽度为10 km，改变此参数可能会影响最终结果。如图7所示，将直线宽度增大为15 km，最多共线城市由原来的10个上升为12个。这是因为矩形的范围增大了，可能包含更多的城市坐标。

Figure 7. 直线宽度为15 km时的共线城市数量分布

此外，本文采用中国地图常用的Albers投影，获取城市坐标点的投影坐标。不同的投影坐标的选择会导致不同的城市投影坐标，可能会对结果产生一定的影响。此外，本文使用的数据不是中国最新的地级市数据，其中并不包含海南省三沙市。

结论

本文利用Matlab进行求解了中国地图上的城市共线问题。结果显示，中国地图上共线城市数量范围为4-10个，共线城市数量空间分布特征不明显。中国地图上画一条直线，穿过其他城市数量最多的三个城市是运城，漯河，杭州；最多共线城市为10个。本文结论可为后续城市共线问题的相关讨论提供借鉴。

参考文献:

无。